Математика под вопросом

Очередное заседание Клуба инновационного развития (КИР), созданного в Институте философии РАН, совместно с семинаром «Рефлексивные процессы и управление», было посвящено теме не то чтобы неожиданной, но достаточно редко обсуждаемой в контексте этого самого инновационного развития – «Настоящее и будущее математики в России (методологические аспекты)». Руководитель КИРа и семинара, доктор психологических наук Владимир Лепский вполне определенно обозначил проблемное поле: что толкает к развитию математику? социальные механизмы этого процесса?

Приглашенным докладчиком выступил Александр Михалев – проректор МГУ им. М.В.Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая алгебра» механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Его доклад назывался «Тенденции развития алгебры: настоящее и будущее». Фактически речь шла, конечно, не о российской математике, а о логике развития математики вообще. Математики как универсального языка природы.

Впрочем, и по этому вопросу нет никакой ясности. Интуитивно вроде бы чувствуется, что математика полна, непротиворечива и универсальна. Но, как заметил еще лет двадцать назад немецкий физик Герт Айленбергер, «...почему, собственно говоря, реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре?.. Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида гомо сапиенс принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы».

Математик Александр Михалев, конечно, придерживается несколько другого мнения: «Математика стабильна, и этим она отличается от физики и прочих наук. Математический результат стабилен. В физике почти любая теория – временная. Относительно недавно физики осознали, что математика в космологических и наномасштабах – одна и та же».

Но даже и математик вынужден признать, что «стабильность математики зависит от того, что мы считаем ее результаты верными». Вот тут-то действительно возникает большая – большущая! – философская проблема.

Михалев приводит такой пример. Текст доказательства одной из современных математических теорем – 10 тысяч страниц («и это еще оптимистический вариант»); пессимисты говорят, что и 100 тыс. не хватит. Каковы должны быть процедуры проверки такого рода доказательств? В конце концов, кто будет финансировать эту проверку? Знаменитый Эндрю Уайлс, доказавший еще более знаменитую теорему Ферма, лет пять отвечал на вопросы экспертов после опубликования своего доказательства.

Любопытно в связи с этим отметить, что число профессиональных математиков в XX веке в мире увеличилось как минимум в 100 раз: в начале прошлого века их было около 10 тыс. Таким образом, онтологическая угроза для математики – возможная утеря ею связанности. «Непротиворечивость даже арифметики – старая открытая проблема, – подчеркивает Михалев. – Пока доказательства, что она непротиворечива, нет».

А ведь еще совсем недавно казалось: симбиоз математики и вычислительной техники решит даже те задачи, для которых не удается найти аналитического решения. Увы... «От компьютерной математики для решения фундаментальных проблем пользы почти нет, – констатировал Александр Михалев. – Уже сейчас созданы настолько мощные компьютерные кластеры, что возникла проблема загрузки этих машин адекватными расчетными задачами. Рост мощностей суперкомпьютеров обгоняет количество соответствующим образом подготовленных математиков».

Но и здесь в итоге возникает все та же проблема – проблема проверки истинности полученного с помощью компьютера доказательства. Пожалуй, это будет еще посложнее, чем в случае с проверкой доказательства теоремы Ферма. Известно, например, что даже самая обычная персоналка хранит в своей памяти и использует в работе в среднем от 150 тыс. до нескольких миллионов строк программного кода. Проблема истинности как бы перешла на другой уровень – «нормальные» математики проверяют компьютер.

И все-таки, какова внутренняя логика развития математики? Александр Михалев уверен, что она определяется одним словом – алгебраизация: «Алгебра и логика создают каркас современной математики, как позвоночник у человека. Алгебраическая топология развивается семимильными шагами. Алгебраическая геометрия: скажем, выясняется, что все элементарные частицы лежат на так называемых алгебраических поверхностях».

Другая точка роста математического знания – информатика и криптография, теория кодирования.

Когда-то математикой считалась та область знания, которая работала с числами. Потом объектом математики стало изучение операций. Сейчас математика – это изучение математических моделей. «Математические модели все время расширяют арсенал своих математических средств, – резюмировал Александр Михалев. – Какие матметоды приспособлены для развития самой философии? Нужна математическая модель работы человеческого мозга».