Теорема Гёделя и лжетрактовки

Эрнест Нагель, Джеймс Рой Ньюмен. Теорема Гёделя/ Пер. с англ. Ю.Гастева. – М.: КРАСАНД, 2010. – 120 с. (НАУКУ – ВСЕМ! Шедевры научно-популярной литературы).

Наверное, каждый из нас не раз сталкивался с некомпетентными интерпретациями теоремы о неполноте в самых разнообразных гуманитарных контекстах. Больше, чем теореме Гёделя, не повезло, возможно, только принципу относительности Эйнштейна и принципу неопределенности Гейзенберга. Причем, как писал один из создателей семантики возможных миров Яаакко Хинтикка, «в нынешней ситуации беспокоит не столько некомпетентность некоторых философских интерпретаций таких известных результатов, как теорема Гёделя, сколько нежелание (или неспособность) многих философов, следуя Сократу, признать всю меру своей некомпетентности» (статья «Логика в философии – философия логики»).

Двадцатипятилетний Курт Гёдель (1906–1978) обнародовал свое открытие в 1931 году на двадцати пяти страницах. В современных учебниках математической логики изложение теоремы вместе с доказательством умещается на одной странице, но, как правило, требует некоторых предварительных знаний. А для гуманитариев потрудились американский логик Эрнест Нагель и американский популяризатор науки Джеймс Рой Ньюмен.

Это доказательство не так уж сложно. Гёдель показывает, как построить арифметическую формулу G, утверждающую свою собственную недоказуемость. Если G доказуема (выводима из арифметических аксиом), то формализированная система арифметики является противоречивой. Если же эта G недоказуема, то в этой системе существуют истинные, но недоказуемые формулы, и, следовательно, она неполна. Более того, в этом случае система аксиом арифметики существенно неполна: даже если добавить к ней формулу G в качестве новой аксиомы, расширенная система аксиом будет все равно недостаточна для формального вывода всех арифметических истин.

Сложнее с философскими интерпретациями теоремы. Как иронизировал Карлис Подниекс, из теоремы Гёделя часто делают вывод о принципиальном превосходстве «живого, творческого, содержательного, человеческого мышления» над любой формальной теорией, о невозможности исчерпать фиксированной формальной теорией даже понятие о ряде натуральных чисел, не говоря уж о «всем богатстве содержательной математики».

Даже брусчатка насквозь математична... Фото Левона Осепяна

Похожие философские рассуждения позволяют себе и Нагель с Ньюменом (что отмечено переводчиком). В частности, они утверждают, что «для каждой конкретной задачи в принципе можно построить машину, которой эта задача была бы под силу, но нельзя создать машину, пригодную для решения любой задачи». Отсюда, по их мнению, следует, что «непосредственной опасности вытеснения людей роботами не видно».

Но как отличить компетентные интерпретации теоремы Гёделя от некомпетентных? Самостоятельно ознакомившись с точным значением терминов, фигурирующих в теореме, и ходом ее доказательства. Например, по брошюре Нагеля и Ньюмена..