Вадим Розин
Геометрия должна выполнять в общеобразовательной школе функцию развития правильного и точного мышления. Фото с сайта www.minobrnauki.gov.ru
Сегодня образование существенно меняется. Автор в совместной статье с Татьяной Ковалевой даже назвал этот процесс «тихой революцией» («Осмысление тьюторского опыта как «тихой революции» в образовании» // Педагогика. 2021. № 9). Основные ее черты – поворот от концепции формирования к концепциям «индивидуализации» и «персонализации», признание разных траекторий развития учащегося, установка на создание условий для инициации самостоятельности (в плане научения и творчества), критика классно-урочной системы, изменение функций учителя (не только учит, но и сопровождает, помогает, инициирует, организует). Не исключение и математическое образование. Здесь те же самые установки, но выраженные менее четко, несистемно. Вот пример.
Проблемная ситуация
Учитель математики и физики красноярской Школы дистанционного образования Елена Жеглатая в статье «Современные подходы в преподавании математики», по сути, решает две основные задачи: с одной стороны, пытается возобновить смысл и интерес к математическому образованию, которые действительно для основной массы учащихся практически отсутствуют, с другой – формулирует установки, сходные с названными.
«Одной из основных целей учебного предмета «математика» как компонента общего среднего образования, – пишет она, – относящейся к каждому учащемуся, является развитие мышления, прежде всего формирование абстрактного мышления. В процессе изучения математики в наиболее чистом виде может быть сформировано логическое и алгоритмическое мышление, многие качества мышления – такие как сила и гибкость, конструктивность, критичность и т.д. Иными словами, обучение математике ориентировано именно на образование с помощью математики. В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой, а общеинтеллектуальное развитие – формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу…
Учитель математики просто обязан быть исследователем хотя бы на уровне школьных математических задач, учиться выделять ключевые задачи, ключевые методы и ключевые идеи и вооружать школьника этими задачами, методами и идеями».
Наверное, стоило бы сразу согласиться с этими положениями. Но не будем спешить, вопросы все же остаются. Тезис о том, что математика способствует развитию мышления, очень старый. Например, еще в 70-х годах позапрошлого столетия наш замечательный педагог и методист Василий Алексеевич Латышев писал, что целью обучения математике является «развитие отвлеченного рассуждения», а также подчеркивал: «Геометрия должна вводиться в общеобразовательные школы для развития в учениках правильного и точного мышления».
А в 60-х годах прошлого века об этом же (школа должна учить мыслить) писали философ Эвальд Ильенков, методолог Георгий Щедровицкий, психолог Василий Давыдов. Но что сегодня нужно понимать под «правильным мышлением», кроме того, что именно математика способствует его становлению?
Следующий вопрос: что собой должно представлять современное содержание математического образования? С одной стороны, например, Жеглатая вроде бы задает принципиально новое содержание («наблюдать, сравнивать, замечать закономерности, формулировать гипотезы, учить доказывать или отказываться от гипотезы, если найден контрпример…»). Но с другой ‒ она пытается спасти традиционное, дисциплинарное, по сути, знаниевое математическое содержание.
«Российская школьная математика, – пишет она, – всегда стояла на трех китах: арифметика (арифметические вычисления), текстовые задачи (арифметические и алгебраические), геометрия. Отказ от традиционного содержания, стремление модернизировать школьные математические программы, а в последнее время и прямое подражание не лучшим западным образцам стало еще одной причиной наблюдаемых сегодня кризисных явлений в нашем школьном математическом образовании. Второй очень важной традиционной чертой российского математического образования является принцип доказательности. Очень четко этот принцип виден в традиционных школьных учебниках по математике. Ни одного недоказанного утверждения, ни одной формулы без вывода. И этим наше математическое образование отличается от американского».
То же противоречие видно и в западных предложениях. Вот, например, финский подход – «через и» перечисляются традиционное и новое содержание (и обычные математические знания, и метазнания, и математические понятия и операции). «C5 Геометрия: Учащиеся расширяют свое понимание концепций точки, отрезка, прямой и угла и знакомятся с понятиями линии и луча. Они исследуют свойства, связанные с линиями, углами и многоугольниками. Они усиливают свое понимание понятий подобия и конгруэнции. Учащиеся занимаются геометрической конструкцией. Они учатся использовать теорему Пифагора, обратную теорему Пифагора и тригонометрические функции…» – отмечает Елена Жеглатая.
Жеглатая намекает, что математика способствует становлению личности, но только намекает. А вот некоторые западные реформаторы говорят об этом прямо.
Так вот, вопрос: действительно ли математическое образование может способствовать становлению правильной личности? В свое время еще аспирантом я задал этот вопрос своему научному руководителю Василию Васильевичу Давыдову. Он подумал и сказал, обобщая: «Да умственное развитие одновременно формирует и правильную личность». Помню, тогда я в это не очень поверил, ведь есть немало хороших математиков и физиков, являющихся одновременно очень сомнительными личностями, с точки зрения нравственности или гражданственности.
Короче, тихая революция в математическом образовании сопровождается глубоким кризисом, касающимся ключевых проблем: определения целей и содержания математического образования, возобновления для учащихся его привлекательности (смысла). Попробуем начать обсуждение этих вопросов.
Историческая динамика математики
В своей книге «Математика: происхождение, природа, преподавание» (2021) я показываю, что в математике нужно различать три основные области:
– во-первых, математические системы, сложившиеся на основе двух источников (теоретической рефлексии некоторой предметной области и конструирования);
– во-вторых, применение математических знаний и объектов в физике и в других научных дисциплинах;
– в-третьих, математику как сферу деятельности и научный этос.
Например, если первые геометрические знания и объекты представляли собой отображения в языке «идеальных объектов», сложившихся отношений между площадями полей в земледелии и их элементами, то последующие знания были получены в ходе описания объектов геометрии, сконструированных на основе исходных геометрических объектов. При этом идеальные объекты строились так, чтобы отнесенные к ним теоретические знания были непротиворечивыми и описывали объекты данной практики. Применение геометрических знаний в физике предполагало трактовку геометрических фигур как схем и моделей, а также новые способы доказательств.
Если же говорить о противоречиях в математике, что относится не только к эпистемологии, но и области научного этоса, то противоречия в математике ‒ это не недоразумение, как считают некоторые философы математики (Давид Гильберт и др.), а нормальное положение дел.
Естественно, не менее нормальна деятельность по разрешению противоречий и обоснованию, и она идет с самого начала существования математики. Анализ работ Аристотеля и Лакатоса показывает, что разрешение апорий предполагает, с одной стороны, перестройку идеальных объектов математики, с другой – обновление представлений о математическом доказательстве… Кризис современной математики проистекает вовсе не потому, что в математике обнаружили много противоречий. Он обусловлен как усложнением сферы деятельности математики, так и противоречиями модерна.
Исторически концепции Платона, Роджера Бэкона и Кузанского способствовали убеждению, что математика причастна к созданию мира и человека, и поэтому ее изучение и освоение ‒ необходимое условие становления и даже спасения личности. Но сейчас мы лучше понимаем, что такое математика, и поэтому можем более правильно охарактеризовать ее смысл, в том числе и для сферы образования.
Во-первых, математика ‒ это важный исторический феномен, один из первых типов науки («Начала Евклида», работы Архимеда и Аполлония). Во-вторых, математика представляет собой язык математических схем и моделей, используемый в физике и ряде других научных дисциплин (например, в социологии и экономике). В-третьих, математика – это вид творчества и мышления (математического), к которому может приобщиться тот, кого математика увлекла.
Но сразу надо отметить, что математическое творчество и мышление – одни среди многих других. Мы уже не можем, как во времена Канта, считать естественнонаучное и математическое мышление единственными и самыми верными априориями в плане познания. Есть другие виды мышления (и творчества) – гуманитарное, социальное, междисциплинарное, технологическое, эзотерическое и др., существенно отличающиеся от математического. И математический язык не является универсальным, например, в гуманитарных и социальных науках, а также в философии и искусстве в ходу не математические модели, а схемы.
Таким образом, значение математики достаточно велико, но не всеобще и не в том отношении, что усвоение математики способствует формированию правильного или абстрактного мышления или совершенной личности (способствует становлению только математического мышления, а к личности не имеет никакого отношения). В образовании надо бы отказаться от этих мифов и знакомить учащихся с указанными здесь смыслами математики, конечно, не исключая использования математики также в практических целях (счет, таблица умножения и пр.).
|
|
Математика – важный исторический феномен, один из первых типов науки, благодаря в том числе работам Архимеда. Портрет Архимеда. Гравюра из книги: Lois Figuier. Vies Des Savants. Paris, 1872 |
В традиционной парадигме (Коменский, Песталоцци, Фребель, Дистервег, Ушинский и др.) вопрос решался однозначно ‒ только математические знания и дисциплины, именно этому и надо учить в школе. Правда, уже Латышев в этом усомнился. Если он только догадывался, что учить нужно не знаниям, а приемам мышления, то философы и методологи 60–70-х годов прошлого века, например Ильенков и Щедровицкий, прямо сводили содержание образования к способам мышления.
Между этими двумя точками зрения располагается еще одна – не знания, а метазнания, метапредметные содержания. Например, математические отношения, упрощенные структуры а-ля Гильберт или Бурбаки и прочее. Группа советских математиков (В. Ашкинузе, В. Болтянский, Н. Виленкин, В. Левин, А. Семушин, И. Яглом) предложила заменить в учебном предмете геометрии одни знания, устаревшие, другими, более совершенными, метапредметными. Однако оказалось, что учащиеся не понимают и не усваивают предложенное им содержание.
Современные педагоги вроде бы готовы отказаться от трактовки содержания математического образования как математических знаний и дисциплин. Однако что вместо этого – непонятно. Вряд ли преподавателей математики может полностью устроить, например, «дидактика больших идей» (фундаментальные концепты и представления, технологические пакеты, повседневное применение, большие вызовы). Это, конечно, эвристично, но почему именно эти идеи, и приведет ли их реализация к нужному сегодня овладению математикой?
Короче, педагоги оказались на перепутье: и по-старому уже нельзя, и новое содержание сомнительно и эклектично.
Выскажу свою точку зрения. Содержанием математического образования (и других научных дисциплин) являются смыслы, полученные при реконструкции становления и развития этих дисциплин. Смыслы как ответ на проблемы непонимания соответствующих дисциплинарных текстов и положений с установкой на прояснение ситуаций, деятельности и мышления, которые, вероятно, и привели к созданию данных текстов и положений.
Приведу один пример. Когда начинается обучение геометрии, как правило, учащиеся долго не понимают, что собой представляют геометрические фигуры и присущие им отношения равенства, подобия, параллельности. По себе помню, что-то около полгода я запоминал в пятом или шестом классе все эти определения и доказательства чисто формально, не понимая; потом что-то случилось, и я начал не то чтобы понимать, а перестал не понимать.
Ведь можно предложить ученикам, но только после того, как зафиксировано непонимание, не геометрические знания и доказательства, а вот такую реконструкцию.
В учебнике геометрии есть такая теорема: «Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника» (первоначально, в другой формулировке это теорема 41 «Начало Евклида»). Обращаем внимание на легенду, по которой геометрия возникла в Древнем Египте и Шумере из нужд земледелия. Разбираем типичную практическую задачу, которую древние писцы решали – деление прямоугольного поля (а таких было большинство) диагональной линией раздела на две равные части, и объясняем, что измерение площадей, которое требовалось для определения величины налога, показывало, что первоначальная площадь была в два раза больше площади каждого треугольного поля, полученного от деления. Позднее можно обсудить, каким образом писцы дошли до понятия «площадь» и как они ее определяли (рассчитывали).
Но пока спрашиваем: может быть, равенство геометрических фигур обязано равенству площадей полей? Разбирая ответы и догадки учащихся, обращаем внимание, что равенство геометрических фигур подтверждается в доказательстве процедурой наложения их друг на друга. Спрашиваем, что это такое, почему нельзя в равенстве убедиться на глаз или как-то еще. Рассказываем, что пифагорейцы в античной культуре VI–V веков до н.э. тоже не понимали папирусы египтян и глиняные книги шумеров, где приводились измерения площадей полей. При этом видели, что в одном тексте сравнение чисел показывало ‒ площади треугольных полей, полученных от деления прямоугольного поля, были одинаковые.
Спрашиваем, каким образом пифагорейцы могли расшифровать вычисления египтян и шумеров, если они считали числа и чертежи сакральными объектами, которые были созданы богами. Постепенно подводим к мысли, что пифагорейцы построили новый класс сакральных объектов – геометрические фигуры, считая, что, с одной стороны, они принципиально отличаются от полей (ведь последние не сакральные объекты), с другой – могут сравниваться на равенства и неравенства именно как сакральные объекты. Чтобы понять, что это означает, пифагорейцы и придумали процедуру наложения одних фигур на другие.
Последнее звено реконструкции – рассказ о формировании в античной культуре примерно в этот же период рассуждений (то есть нового способа получения знаний, одних на основе других путем умозаключений). Однако в результате рассуждений можно было получить обычные знания, соответствующие наблюдениям и опыту, и парадоксы.
Разбирая парадоксы, подводим учеников к пониманию того, почему и каким образом Сократ и Платон и чуть позднее Аристотель предложили строить определения, правила рассуждений и категории, позволяющие рассуждать без противоречий. Все это и составило античную логику, позволившую ввести диалектику и мышление.
Для учеников сухой остаток, который предлагается продумать и обсудить, – предположение, что доказательства геометрических теорем сложились под влиянием диалектики Платона и логики Аристотеля. Причем в рамках доказательств геометрические фигуры окончательно превращаются в идеальные объекты геометрии.
Я разобрал только одну реконструкцию, но важную. Реально же для курса геометрии, разрешая проблемы непонимания основных особенностей геометрии как математики (см. выше три ее основные характеристики), их нужно сделать, вероятно, несколько десятков. Каждая такая реконструкция позволит определить основные математические содержания и установить между ними генетические связи.
Причем все это целесообразно делать в форме постановки проблем и вопросов, инициирования обсуждения, склонения учеников к самостоятельному разрешению проблем и последующей рефлексии. Другими словами, помимо реконструкции и генетических связей структура содержания образования обусловлена еще одним фактором – современными представлениями о закономерностях развития и эволюции индивидов. А последнее, как отмечалось, предполагает инициирование самостоятельности и отслеживание разных траекторий развития личности.
Следовательно, нужно исходить из того, что разные ученики будут по-разному отвечать на вопросы и различно решать поставленные перед ними проблемы. В конечном счете они могут выйти и на разное понимание геометрии (математики). Эти моменты нужно выявлять, чтобы тьюторы могли индивидуально работать со своими подопечными (помогать им, обсуждать возникшие ситуации и проблемы, инициировать, если нужно, следующие шаги).
За пределами натурального ряда
Еще один фактор, определяющий особенности современного содержания образования, – возможность передать основной объем математических знаний и доказательств интернету, оставив для обучения только некоторые, на которые можно опереться, чтобы ввести нужное понимание математики. Это если речь идет об общеобразовательной школе. Другое дело, если учащиеся будут специализироваться в математике (в специальных классах или в университетах).
«Конкретные математические знания, – отмечает Жеглатая, – лежащие за пределами, условно говоря, арифметики натуральных чисел и первичных основ геометрии, не являются «предметом первой необходимости» для подавляющего большинства людей и не могут поэтому составлять целевую основу обучения математике как предмету общего образования».
Одновременно такая передача означает необходимость перехода к новому содержанию образования, к резкому возрастанию роли и значения рефлексивности. Ведь, по сути, предлагаемая автором реконструкция смысла математических содержаний есть не что иное как рефлексия ситуаций, деятельности и мышления, обусловивших становление математики.
Здесь, правда, встает важный вопрос: где школьный учитель может найти подобное рефлексивное содержание математики? Отослать к своим исследованиям математики я, конечно, могу, но, во-первых, они могут быть не самыми лучшими в плане методологии; во-вторых, я смог проанализировать только формирование евклидовой геометрии и не полностью математической логики. Рефлексия математики, в указанном мною смысле, еще только ожидает своего Ньютона.
Школьный учитель математики может попробовать пуститься вплавь самостоятельно, и думаю, это всегда себя оправдает. Рефлексия вещь полезная, но все же он не сможет заметить собой специалиста – методолога с математической подготовкой.
Еще одно важное соображение касается вариативности современного содержания образования. Если образование исходит из признания разных типов личности и траекторий их развития, а также принципа «культуросообразности», то понятно, что педагог должен стремиться предоставить ученику содержание во всем его культурном многообразии. Это опять же, вероятно, предполагает усиление рефлексивного начала. Например, не просто познакомить с пятым постулатом «Начал Евклида», но погрузить в ситуацию попыток его доказать и предложить материал, выводящий к геометрии Лобачевского, а затем и Римана. И так везде – многообразие и вариативность смыслов математики.
Под занавес трудный для автора вопрос: что собой должен представлять учебник с изложением нового содержания образования? Например, о какой последовательности математических содержаний здесь можно говорить?
Понятно одно – это не традиционное изложение, как, например, даже в хороших учебниках типа Киселева. Может быть, вообще пришло время поиска и написания учебников принципиально нового типа. Автор, правда, не в математике, а в гуманитарной науке (культурологии) попробовал написать подобный учебник (Розин В.М. Культурология: учебное пособие для бакалавра и магистратуры. 2018).
Рассказывая о замысле этого учебника, в котором излагаются основные парадигмы культурологии, я пишу следующее: «А вот как уже сегодня ставит вопрос Л. Ионин, написавший прекрасное учебное пособие по социологии культуры: «Как культура в целом представляет собой многообразное, многослойное явление, так и учебник по социологии культуры не может не быть своего рода введением в междисциплинарное исследование». Поясняя дальше, что под этим нужно понимать, Ионин пишет: «В настоящей работе при всем желании не удастся исчерпывающе осветить развитие каждой из наук о культуре, которые, как уже было сказано, к тому же прихотливо переплетаются друг с другом. Поэтому в историческом обзоре мы остановимся скорее не на развитии дисциплин, а на смене глобальных парадигм видения культуры. Смена парадигм – это нечто большее, чем чередование теорий и концепций, выдвигаемых теми или иными авторами. Смена парадигм – это смена отношений к объекту исследования, предполагающая изменение исследовательских методов, целей исследования, угла зрения на предмет, а часто и вообще смена самого предмета исследования».
К сказанному добавим следующее. Не имеет смысла излагать культурологические теории или представления сами по себе как некую информацию. Зато необходимо указать основные создаваемые и используемые в культурологии подходы и методы, охарактеризовать их назначение и границы, дать своеобразный путеводитель для ориентировки в культурологии как неоднородной сложной дисциплине. Исходя из такого понимания, я и попытался построить материал.
Культурология, конечно, существенно отличается от математики, но, уверен, современное образование едино в своих принципах построения и противопоставления традиционной парадигме образования. Впрочем, убеждения автора – не истина в последней инстанции, а приглашение к обсуждению.
